Научно-исследовательская работа «Применение нестандартных методов расчета электрических цепей при подготовке к ЕГЭ»

Муниципальный тур окружного конкурса творческих работ учащихся

«Интеллект. Творчество. Фантазия».

Секция: Физика

Тема:

Применение нестандартных методов расчета электрических цепей при подготовке к ЕГЭ

Выполнил:

Учащийся 10 класса

ГБОУ лицей (экономический)

с. Исаклы

Научный руководитель:

Адякина Валентина Семеновна

Учитель физики

г. Похвистнево

2018 г

Содержание

Введение……………………………………………………….. 3-4

Основная часть………………………………………………….. 5-10

II.1. Теоретическая часть………………………………………….. 5

II.1.1.История открытия……………………………………………..5-6

II.1.2. Правила Кирхгофа……………………………………………6-10

II.2. Практическая часть……………………………………………. 8-18

II.2.1. Алгоритм расчета электрической цепи……………………. 10

II.2.2. Расчет электрических цепей…………………………………10-17

II.2.3. Применение законов Кирхгофа…………………………… 17-18

Заключение………………………………………………………...18-20

Список используемых источников и литературы ………………20

I. Введение

Актуальность исследования

Физическое действие электрического тока проявляется в нагреве и механическом воздействии на токоведущие элементы электротехнического устройства. В конечном итоге это влияет на долговечность и надежность его работы. Перегрев токоведущих элементов устройства в первую очередь вызывает интенсивный износ изоляции, что, в конечном счете, приводит к короткому замыканию сопровождаемому, как правило, электрической дугой. Превышение механических усилий своего допустимого значения приводит к разрушению устройства, затем – к короткому замыканию. Поэтому первым этапом расчета электротехнического устройства, ставится задача определения величин токов в элементах устройства. [5]. На практике часто приходиться рассчитывать сложные разветвлённые электрические цепи, содержащие узлы. Непосредственное применение закона Ома для полной цепи обычно затруднительно и приводит к ошибкам в расчёте.

Проблема

К таким, нестандартным задачам по расчету электрических цепей постоянного тока можно отнести задачи, схемы которых:

1) содержат большое число элементов – резисторов или конденсаторов;

2) симметричны;

3) состоят из сложных смешанных соединений элементов.

По школьной программе на рассмотрение данной темы очень мало отводится времени, однако такие типы задач часто встречаются в олимпиадных заданиях, и они полезны для тех учащихся, кто готовится к поступлению в ВУЗы.

Гипотеза

Возможно, наиболее общими, универсальными законами, позволяющими рассчитать любую электрическую цепь, являются законы Кирхгофа. И знания, полученные при работе над проектом, пригодятся нам в дальнейшем.

Цель исследования

В течение учебного года изучить правила расчета электрических цепей;

отразить результаты исследования в методическом пособии для старшеклассников.

Задачи исследования:

изучить историю открытия законов Кирхгофа;

изучить основную теорию по данной теме;

установить физический смысл законов Кирхгофа;

применить законы Кирхгофа для расчёта разветвлённых цепей;

создать методическое пособие по данной теме.

Объект исследования

Электрические цепи

Предмет исследования

Расчет электрических цепей

Методы исследования

Анализ научной литературы

Сравнительно-аналитический, частично - поисковый анализ

Синтез

II.1.1.История открытия

На практике очень часто встречаются сложные (разветвленные) электрические цепи, для расчета которых удобно использовать правила Кирхгофа (рис. 1).

Рис. 1. Г. Кирхгоф (1824–1887) — немецкий физик 

Эти правила устанавливают соотношения для токов и напряжений в разветвленных электрических цепях постоянного тока. Сформулированы  Кирхгофом в 1847.

В 1846 г. Г. Кирхгоф окончил университет, а через два года в Берлинском университете защитил докторскую диссертацию и начал преподавать в этом университете. В 1850 г. Кирхгоф был приглашен экстраординарным профессором физики в университет г. Бреслау (Силезия, ныне г. Вроцлав в Польше), а в 1855 г. возглавил кафедру физики в Геидельбергском университете. Здесь он преподавал в течение 20 лет и написал свои лучшие работы. [1].

Карьера Густава Кирхгофа во многом типична для немецкого физика XIX столетия. Германия позже своих западных соседей подошла к индустриальной революции и потому сильнее нуждалась в передовых технологиях, которые способствовали бы ускоренному развитию промышленности. В результате ученые, прежде всего естественники, ценились в Германии очень высоко. В возрасте двадцати одного года, он сформулировал основные законы для расчета токов и напряжений в электрических цепях, которые теперь носят его имя.

Середина XIX века как раз стала временем активных исследований свойств электрических цепей, и результаты этих исследований быстро находили практические применения. Базовые правила расчета простых цепей, такие как закон Ома, были уже достаточно хорошо проработаны. Проблема состояла в том, что из проводов и различных элементов электрических цепей технически уже можно было изготовлять весьма сложные и разветвленные сети. Кирхгофу удалось сформулировать правила, позволяющие достаточно просто анализировать самые сложные цепи, и законы Кирхгофа до сих пор остаются важным рабочим инструментом специалистов в области электронной инженерии и электротехники.

II.1.2. Правила Кирхгофа, основные понятия.

Законы (правила) Кирхгофа – это структурные законы теории электрических цепей [2]. Эти законы позволяют решить любую задачу об электрической цепи. Хотя они выводятся из уравнений Максвелла, последние непосредственно к анализу электрических цепей неприменимы.

Электрическая цепь – совокупность электротехнических устройств, образующих путь для электрического тока.

Ветвь - это участок цепи между двумя узлами, не содержащий узлов внутри себя. Все элементы одной ветви соединены последовательно, поэтому силы токов через них одинаковы.

Контур - замкнутая электрическая цепь, образуемая одной или несколькими ветвями.

Узел - точка, в которой соединяются не менее трех проводников.

Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда и состоит в том, что алгебраическая сумма сил токов для каждого узла в разветвленной цепи равна нулю: .

Рис. 2.

Токи, которые вытекают из узла, берутся с отрицательным знаком, а токи, входящие в узел – берут со знаком +. Физический смысл этого закона прост: если бы он не выполнялся, в узле непрерывно накапливался бы электрический заряд, а этого никогда не происходит.

Пример 1.Напишем 1 закон Кирхгофа для всех узлов. Для приведённой на рисунке 2 цепи, в соответствии с первым законом выполняются следующие соотношения:

А: I1- I2- I6=0

B: I2- I3- I4=0

С: I3- I5=0

Д: I4+ I5- I7+ I6=0

Правила Кирхгофа позволяют рассчитывать сложные электрические цепи, например, определять силу и направление тока в любой части разветвленной системы проводников.

Пример 2. Предположим, что ток в шестой ветви притекает к точке А. Используя первый закон Кирхгофа, составим уравнение

Рис. 3.  Отсюда

 Знак минус означает, что принятое нами направление тока в шестой ветви неправильное, В действительности ток в этой ветви вытекает из точки А.

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, так как сумма втекающих токов характеризует заряд, приходящий в узел за некоторое время, а сумма вытекающих – заряд, выходящий из узла за то же время. Равенство этих сумм между собой связано с тем, что заряд в узле не накапливается (заряд может накапливаться только на пластинах конденсаторов). Забегая вперёд, отметим, что второе правило Кирхгофа можно рассматривать как следствие закона сохранение энергии.

Второе правило Кирхгофа можно сформулировать так: алгебраическая сумма падений напряжений по замкнутому контуру равна алгебраической сумме ЭДС вдоль этого контура.

Рис.4. 

Если направление тока совпадает с направлением обхода контура (которое выбирается произвольно), перепад напряжения считается положительным, в противном случае — отрицательным.

Знак каждого из слагаемых в обеих суммах зависит от направления обхода контура и определяется по соответствующим правилам знаков.

Правило знаков для источников. Если направление обхода контура совпадает с направлением действия источника, то перед его ЭДС ставится плюс, иначе – минус.

Правило знаков для резисторов. Если направление обхода контура совпадает с выбранным направлением тока I через резистор сопротивлением R, то напряжение на резисторе записывается как U=RI, иначе U=-RI. 

Правило знаков для конденсаторов. Напряжение на конденсаторе ёмкостью C записывается как U=q/C, где q - заряд первой встреченной при обходе обкладки конденсатора, в качестве которого может оказаться как +q, так и -q в зависимости от изначального выбора знаков зарядов на обкладках.

Второй закон устанавливает связь между падением напряжения на замкнутом участке электрической цепи и действием источников ЭДС на этом же замкнутом участке. Он связан с понятием работы по переносу электрического заряда. Если перемещение заряда выполняется по замкнутому контуру, возвращаясь в ту же точку, то совершенная работа равна нулю. Иначе бы не выполнялся закон сохранения энергии. Это важное свойство потенциального электрического поля описывает 2 закон Кирхгофа для электрической цепи.

Если применить второе правило Кирхгофа ко всем контурам, то ряд уравнений будут зависимыми, а система – переполненной. Если же какой-то из элементов не войдёт ни в один контур, то система будет неразрешимой. Поэтому для записи уравнений по второму правилу Кирхгофа необходимо выбрать контуры так, чтобы каждый элемент входил хотя бы в один из выбранных контуров, а общее число уравнений с учётом записанных по первому правилу Кирхгофа было равно числу неизвестных сил токов, то есть числу ветвей.

Пример.

Рис. 5. 

На этом рисунке для каждой ветви обозначен протекающий по ней ток (буквой «I») и напряжение между соединяемыми ею узлами (буквой «U»)

Количество узлов: 3.

Количество ветвей (в замкнутых контурах): 4. Количество ветвей, содержащих источник тока: 0.

Количество контуров: 2.

Для приведённой на рисунке цепи, в соответствии с первым правилом, выполняются следующие соотношения:

Для каждого узла должно быть выбрано положительное направление, например, здесь токи, втекающие в узел, считаются положительными, а вытекающие — отрицательными.

Решение полученной линейной системы алгебраических уравнений позволяет определить все токи узлов и ветвей, такой подход к анализу цепи принято называть методом контурных токов.

В соответствии со вторым правилом, справедливы соотношения:

Полученные системы уравнений полностью описывают анализируемую цепь, и их решения определяют все токи и все напряжения ветвей, такой подход к анализу цепи принято называть методом узловых потенциалов.

II.2. Практическая часть

II.2.1. Алгоритм расчета электрической цепи

1. Произвольно указать направление токов во всех ветвях разветвленной цепи.

2. Произвольно выбрать направление обхода каждого из контуров и строго его придержи- ваться, произведение Ii Ri считать положительным, если направление тока на данном участке совпадает с направлением обхода, и отрицательным, если наоборот.

ЭДС, действующей в направлении обхода контура, приписывать знак "+", против – "–".

3. По первому правилу Кирхгофа составить (n – 1) независимых уравнений, где n – число узлов в разветвленной цепи.

4. По второму правилу Кирхгофа составить столько уравнений, сколько независимых контуров в разветвленной цепи.

5. Проверить, чтобы в конечной системе уравнений, составленных по первому и второму правилам Кирхгофа, число уравнений совпадало с числом неизвестных.

6. Решить систему m уравнений с m неизвестными, получить искомые величины.

Если в результате расчетов получается отрицательная величина искомого тока, то его ис- тинное направление противоположно выбранному.

II.2.2. Расчет электрических цепей

Задача 1. Рассчитать схему рис.6, составив систему уравнений на основании законов Кирхгофа. Рис.6. 

Исходные данные к задаче:

E1 = 60 В; E2 = 80 В; E3 = 70 В;

R1 = 20 Ом; R2 = 50 Ом; r03 = 5 Ом; R4 = 65 Ом; R5 = 85 Ом.

Анализ и решение задачи

1. Определение необходимого числа уравнений.

В схеме рис. 6 пять ветвей и для расчета токов в них надо составить пять уравнений. По первому закону Кирхгофа составляются уравнения для всех узлов, кроме одного (уравнение для него будет следствием предыдущих), по второму – для независимых контуров (в каждый последующий контур входит хотя бы одна ветвь, не вошедшая в ранее рассмотренные). Для данной схемы надо составить два уравнения по первому закону и три – по второму.

2. Составление и решение системы уравнений.

Для составления уравнений задаемся произвольно направлениями токов в ветвях и направлениями обхода контуров (рис. 6).

Уравнение для узла d: I1 + I3 - I4 = 0.
Уравнение для узла е: - I2 - I3 + I5 = 0.
Уравнение для контура bcd: I1R1 + I4R4 = E1.
Уравнение для контура abe: I2R2 + I5R5 = E2.
Уравнение для контура bde: I3r03 + I4 R4 + I5R5 = E3.

Подставив в уравнения численные значения величин, получим алгебраическую систему уравнений:

I1 + I3 - I4 = 0;
- I2 - I3 + I5 = 0;
20 I1 + 65 I4 = 60;
50 I2 + 85 I5 = 80;
5 I3 + 65 I4 + 85 I5 = 70.

Решение системы дает значения токов: I1 = 1,093 А; I2 = 0,911 А; I3 =  –0,506 А; I4 = 0,587 А; I5 = 0,405 А.

Дополнительные вопросы к задаче

1. Что означает минус перед численным значением тока I3?

Знак «–» говорит о том, что реальное направление тока в данной ветви противоположно принятому в начале расчета.

2. В каких режимах работают элементы схемы, содержащие источники ЭДС?

В ветвях с E1 и E2 токи совпадают по направлению с ЭДС, т.е. данные элементы работают источниками, отдавая энергию в схему; в ветви с ЭДС E3 ток направлен против ЭДС, т.е. данный элемент работает потребителем (например, машина постоянного тока в режиме двигателя).

3. Как проверить правильность решения задачи?

Для проверки правильности расчета можно на основании законов Кирхгофа написать уравнения для узлов и контуров схемы, которые не использовались при составлении исходной системы. Независимой проверкой является уравнение баланса мощностей: сумма мощностей источников равна сумме мощностей, расходуемых в резистивных элементах схемы. Т.к. элемент схемы с ЭДС может работать как в режиме источника, так и в режиме потребителя, соответствующее слагаемое в левой части уравнения берется с плюсом, если Е и I совпадают по направлению (источник), и с минусом, если направления противоположны (потребитель). [4].

Задача 2.

Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.

Решение

Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.

Напомним, что по первому закону, сумма токов сходящихся в узле равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи 

Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.

На примере первого контура – ток I1 и I3 совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.

Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут: 

Все эти три уравнения образуют систему

Подставив известные значения и решив данную линейную систему уравнений, найдем токи в ветвях (способ решения может быть любым). 

Проверку правильности решения можно осуществить разными способами, но самым надежным является проверка балансом мощностей.

Задача 3.

Решение

Зная сопротивления резисторов и ЭДС трех источников найти ЭДС четвертого и токи в ветвях.

Как и в предыдущей задаче начнем решение с составления уравнений на основании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений n-1= 2 

Затем составляем уравнения по второму закону для трех контуров. Учитываем направления обхода, как и в предыдущей задаче. 

На основании этих уравнений составляем систему с 5-ью неизвестными 

Решив эту систему любым удобным способом, найдем неизвестные величины 

Для этой задачи выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей полученных приемниками. 

Баланс мощностей сошелся, а значит токи и ЭДС найдены верно. 

Задача 4.

Резисторы с сопротивлениями и и конденсаторы емкостью включены в цепь с ЭДС (смотри рисунок), Внутренним сопротивлением которого можно пренебречь. Определите заряды, установившиеся на конденсаторах [6].

Дано:

Решение

Через конденсаторы постоянный ток не протекает. Тогда ток, который протекает по цепи, равен

Этот ток протекает через все резисторы. Чтобы определить заряды на конденсаторах, необходимо знать напряжения на них. Для этого воспользуемся вторым законом Кирхгофа. Поскольку всего два неизвестных, то и уравнений составим два.

Напряжение Из первого уравнения находим Найдем напряжение на : = 5 B. Из второго уравнения Заряды определим по формуле

Задача 5.

Какой должна быть ЭДС источника тока, чтобы напряженность электрического поля в плоском конденсаторе была равна , если внутреннее сопротивление источника тока , сопротивление резистора расстояние между пластинами конденсатора [8].

Решение

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Кирхгофа для двух контуров, в которых указаны положительные направления обхода контуров.

.

Так как , то Из второго уравнения Для плоского конденсатора Тогда

=.

II.2.3. Применение законов Кирхгофа

Самое распространенное применение законов Кирхгофа мы наблюдаем в последовательных и параллельных цепях. В последовательной цепи (яркий пример такой цепи — елочная гирлянда, состоящая из последовательно соединенных между собой лампочек) электроны от источника питания по серии проводов последовательно проходят через все лампочки, и на сопротивлении каждой из них напряжение падает согласно закону Ома.

В параллельной цепи провода, напротив, соединены таким образом, что на каждый элемент цепи подается равное напряжение от источника питания, а это означает, что в каждом элементе цепи сила тока своя, в зависимости от его сопротивления. Примером параллельной цепи является соединение ламп «лесенкой»: напряжение подается на шины, а лампы смонтированы на поперечинах. Токи, проходящие через каждый узел такой цепи, определяются по первому закону Кирхгофа.

Ш. Заключение

Цель данного проекта состояла в том, чтобы в течение учебного года изучить правила расчета электрических цепей; отразить результаты исследования в методическом пособии для старшеклассников.

Существует мнение, что название «Правила» корректнее потому, что эти правила не являются фундаментальными законами природы, а вытекают из фундаментальных законов сохранения заряда и закона сохранения энергии.

Итак, правила Кирхгофа — соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи. Правила Кирхгофа позволяют рассчитывать любые электрические цепи постоянного и переменного тока.

Изучив биографию ученого, мы узнали, что научную работу Кирхгоф начал, будучи студентом. В 1845–1847 годах, занимаясь исследованием электрический цепей, он открыл закономерности протекания тока в разветвлённых цепях (правила Кирхгофа). Великий немецкий физик  Густав Роберт Кирхгоф  - один из создателей спектрального анализа, автор метода расчета токов в разветвленных электрических цепях, крупнейший физик и педагог конца XIX века. Член Берлинской АН (1874), член-корреспондент Петербургской АН (1862).

На основании проведенных исследований мы выяснили, что правила расчета имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения многих задач в теории электрических цепей и практических расчётов сложных электрических цепей. Применение правил Кирхгофа к линейной электрической цепи позволяет получить систему линейных уравнений относительно токов или напряжений, и соответственно, найти значение токов на всех ветвях цепи и все межузловые напряжения.

Итак, подводя итоги, можно констатировать, в чем заключается физический смысл законов Кирхгофа. Первый закон устанавливает связь между токами для узлов электрической цепи. Он вытекает из принципа непрерывности, согласно которому суммарный поток зарядов, образующих электрический ток, проходящих через любую поверхность равен нулю. Т.е. количество прошедших зарядов в одну сторону равно количеству зарядов, прошедших в другую сторону. Т.е. количество зарядов никуда не может деться. Они не могу просто исчезнуть.

Второй закон устанавливает связь между падением напряжения на замкнутом участке электрической цепи и действием источников ЭДС на этом же замкнутом участке. Он связан с понятием работы по переносу электрического заряда. Если перемещение заряда выполняется по замкнутому контуру, возвращаясь в ту же точку, то совершенная работа равна нулю. Иначе бы не выполнялся закон сохранения энергии. Это важное свойство потенциального электрического поля описывает 2 закон Кирхгофа для электрической цепи.

Наша работа позволяет сделать вывод о том, Правила Кирхгофа позволяют однозначно и полно рассчитать любую электрическую цепь. Широкое применение этих правил объясняются тем, что систему уравнений цепи по ним достаточно легко составить и решить, применяя стандартные способы линейной алгебры, такие, как метод Гаусса или метод Крамера.

Мы пришли к выводу о том, что хотя по школьной программе на рассмотрение данной темы очень мало отводится времени, учащиеся могут более или менее успешно овладеть методами решения задач данного типа. Такие типы задач часто встречаются в олимпиадных заданиях, но базируются они на школьном курсе.

На основании проделанного нами исследования, можно сделать вывод и о том, что в общем случае всякую цепь можно рассчитать, используя законы Кирхгофа. Однако эти законы не входят в школьную программу. К тому же, правильно решить систему из большого числа уравнений со многими неизвестными под силу не многим учащимся и этот путь не является лучшим способом тратить время. Поэтому нужно уметь пользоваться методами, позволяющими быстро найти сопротивления и емкости контуров. В будущем мы планируем продолжить работу в этом направлении.

В заключение отметим, что в методическом пособии по данной теме отражены результаты наших исследований. Их практическая значимость состоит в том, что мы систематизировали основные знания о способах расчета электрических цепей по законам Кирхгофа. Надеемся, что наша работа поможет школьникам лучше понять физический смысл этих законов, а также научиться с их помощью рассчитывать электрические цепи.

IV. Список используемых источников и литературы

http://www.peoples.ru/science/

Физика. Толковый словарь школьника и студента. Под ред. К. К. Гомоюнова, В. И. Козлова. – М.: Проспект. 2010. – 466 с.

Бутиков Е. М., Кондратьев А. С. Физика. Электродинамика. (в кн.2). – М.: Физматлит. 2004. – 336 с.

http://model.exponenta.ru/

toe@unpk.osu.ru.

Москалев А. Н., Никулова Г. А..Физика. Готовимся к единому государственному экзамену. – М.: Дрофа, 2008. – 224.

Физика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы / Ю. И. Дик, В. А. Ильин, Д. А. Исаев и др. – М.: Дрофа, 2008, - 735 с.

Отличник ЕГЭ. Физика. Решение сложных задач. Под ред. В. А. Макарова, М. В. Семенова, А. А. Якуты. ФИПИ. – М.: - Интеллект-Центр, 2010.-368 с.